神经网络笔记Ⅰ

本篇文章只做一个神经网络入门知识的梳理和个人的理解。

关于神经网络的一些基本概念在这里就不做介绍，首先我们进行一些概念和符号上的约定。

假设一个矩阵如下：

\[ \mathbf{X} = \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{array}\right] \]

点乘： \(\cdot\)

\[ \mathbf{X} \cdot \mathbf{X} = \left [ \begin{array}{ccc} 1*1 & 2* 2 & 3* 3 \\ 2*2 & 3*3 & 1*1 \\ 3*3& 2*2 & 1*1 \end{array} \right]= \left [ \begin{array}{ccc} 1 & 4 & 9 \\ 4& 9& 1 \\ 9& 4& 1 \end{array} \right] \]

叉乘： *

\[ \mathbf{X} * \mathbf{X} = \left [ \begin{array}{ccc} 1* 1 + 2*2+ 3*3& 1*2+2*3+3*2 & 1*3+2*1+3*1 \\ 2*1+3*2+1*3 & 2*2+3*3+1*2 & 2*3+3*1+1*1 \\ 3*1+2*2+1*3& 3*2+2*3+1*2& 3*3+2*1+1*1\end{array} \right]= \left [ \begin{array}{ccc}14 & 14 & 8 \\11& 15& 10 \\ 10& 14& 12 \end{array} \right] \]

已知数据：矩阵X为训练数据集，矩阵y为训练数据集的标签

最简单的神经网络

基于Numpy实现神经网络：反向传播

最简单的神经网络就是只有输入层和输出层的网络结构（双层神经网络）。

关于激活函数简单介绍：

如果不使用激活函数，那么就与多层感知机（MLP）相当。引入之后，下一层的输入就不再是线性组合，输出就有意义。

如果不使用激活函数，那么输入与输出都是线性变换，无法做到非线性分类。

激活函数

这是公式，值域为[0,1]，它的导数自证。

作用：

引入非线性因素
线性变换
激活函数，并不是去激活什么，而是指如何把“激活的神经元的特征”通过函数把特征保留并映射出来（保留特征，去除一些数据中是的冗余。激励就是样本的特征值），这是神经网络能解决非线性问题关键。

sigmoid的导数，即使用了 deriv=True。

作用：用它的输出创建它的导数，降低高信度预测的错误

注意：如果神经网络提前达到预期的结果（损失函数小于一定的范围），可以提前终止

# coding: utf-8
# 矩阵计算
import numpy as np
# 生成随机数
import random

# 定义激活函数, 这里用sigmoid函数
def sigmoid(x, deriv=False):
    # 如果满足条件就返回sigmoid的导数
    if (deriv == True):
        return x * (1 - x)
    # 不满足直接返回sigmoid函数
    return 1 / (1 + np.exp(-x))

# 指定训练数据, X规模为4x3, y规模为4x1
X = np.array([[0,0,1],[0,1,1],[1,0,1],[1,1,1]])
y = np.array([[0,1,1,0]]).T

# 初始化权重数据, 用随机数进行初始化，矩阵规模3x1
syn_0 = 2 * np.random.random((3, 1)) - 1

# 进行迭代
for _ in range(10000):
    # 输入层为训练数据
    l0 = X
    # np.dot表示叉乘, 进行激活操作， 输出层
    l1 = sigmoid(np.dot(l0, syn_0))
    # 计算偏差
    l1_error = y - l1
    # 误（偏）差加权导数。偏差乘以sigmoid在l1处的斜率，用以更新权重
    l1_delta = l1_error * sigmoid(l1, deriv=True)
    syn_0 += np.dot(l0.T, l1_delta)

# 训练完成，输出l1看看
print(l1)

三层神经网络

增加了一层网络，在输入层和输出层中间。这里做一个规定，在输入层和输出层之间的网络结构我们称为隐藏层。

一层隐层网络就是一层特征层次，每一个神经元可以类似看作一个特征属性

# coding: utf-8
import numpy as np
import random

def sigmoid(x, deriv=False):
    if (deriv == True):
        return x * (1 - x)
    return 1 / (1 + np.exp(-x))
X = np.array([[0,0,1],[0,1,1],[1,0,1],[1,1,1]])
y = np.array([[0,1,1,0]]).T

# 初始化权重数据, 用随机数进行初始化， 这里的规模同X、y矩阵的规模
syn_0 = 2 * np.random.random((3, 4)) - 1
syn_1 = 2 * np.random.random((4, 1)) - 1

for _ in range(10000):
    l0 = X
    l1 = sigmoid(np.dot(l0, syn_0))
    # 加了一层神经网络，称为隐藏层
    l2 = sigmoid(np.dot(l1, syn_1))
    l2_error = y - l2
    l2_delta = l2_error * sigmoid(l2, deriv=True)
    # 计算完l2的误差之后，再用结果去计算l1的误差
    l1_error = np.dot(l2_delta, syn_1.T)
    l1_delta = l1_error * sigmoid(l1, deriv=True)
    syn_1 += np.dot(l1.T, l2_delta)
    syn_0 += np.dot(l0.T, l1_delta)

print(l1)

改进神经网络v1.0——增加梯度

A Neural Network in 13 lines of Python (Part 2 - Gradient Descent)

关于梯度的定义请自行了解。

增加了梯度可以更快的找到较为理想的结果。

关于梯度上升有下面几种方法（梯度下降同理）：

原始的梯度上升

目标：找到某个函数的最大值。每次沿函数的梯度方向探寻。一直进行迭代，直到到达某个停止条件（迭代次数限制或某个误差范围）
随机梯度上升(SGD)

不同点在于，第一种方法每次是遍历所有的数据集（一百以内的数据集可以接受用上面的方法）。而随机梯度则是只使用一个样本点来更新回归系数。
改进版随机梯度上升

用随机的一个样本来更新回归系数。
批梯度上升

切分样本集，随机取出切分后的某些样本，进行遍历

损失函数（代价函数）

二次代价函数

\[ C= \frac{1}{2n}\sum_\limits{n}[y(x)-a^L(x)]^2 \]
交叉熵代价函数

\[ C=\frac{1}{2n}\sum_\limits{x}[y\ln a-(1-y)\ln(1-a)] \]
对数似然函数

\[ C=\frac{1}{n}\sum_\limits{x}\sum_\limits{k}y_k\log a_k \]

前向传播是函数求偏导，反向传播减少了这个计算量

# coding: utf-8
import numpy as np
import random

def sigmoid(x, deriv=False):
    if (deriv == True):
        return x * (1 - x)
    return 1 / (1 + np.exp(-x))
X = np.array([[0,0,1],[0,1,1],[1,0,1],[1,1,1]])
y = np.array([[0,1,1,0]]).T

syn_0 = 2 * np.random.random((3, 4)) - 1
syn_1 = 2 * np.random.random((4, 1)) - 1

# 加入步长
alphas = [0.001,0.01,0.1,1,10,100,1000]

for alpha in alphas:
    for _ in range(10000):
        l0 = X
        l1 = sigmoid(np.dot(l0, syn_0))
        # 加了一层神经网络，称为隐藏层
        l2 = sigmoid(np.dot(l1, syn_1))
        l2_error = y - l2
        l2_delta = l2_error * sigmoid(l2, deriv=True)
        # 计算完l2的误差之后，再用结果去计算l1的误差
        l1_error = np.dot(l2_delta, syn_1.T)
        l1_delta = l1_error * sigmoid(l1, deriv=True)
        # 更新权重的时候加入步长
        syn_1 += alpha * np.dot(l1.T, l2_delta)
        syn_0 += alpha * np.dot(l0.T, l1_delta)

    print("alpha:", alpha, "l1:", l1)

改进神经网络v2.0——更改隐单元个数

更改网络的神经元个数，这个可能就是所谓的玄学调参

# coding: utf-8
import numpy as np
import random

def sigmoid(x, deriv=False):
    if (deriv == True):
        return x * (1 - x)
    return 1 / (1 + np.exp(-x))
X = np.array([[0,0,1],[0,1,1],[1,0,1],[1,1,1]])
y = np.array([[0,1,1,0]]).T

# 定义神经元个数，随机
hidden_dim = np.random.randint(2, 8)

syn_0 = 2 * np.random.random((3, hidden_dim)) - 1
syn_1 = 2 * np.random.random((hidden_dim, 1)) - 1

for _ in range(10000):
    l0 = X
    l1 = sigmoid(np.dot(l0, syn_0))
    l2 = sigmoid(np.dot(l1, syn_1))
    l2_error = y - l2
    l2_delta = l2_error * sigmoid(l2, deriv=True)
    l1_error = np.dot(l2_delta, syn_1.T)
    l1_delta = l1_error * sigmoid(l1, deriv=True)
    syn_1 += np.dot(l1.T, l2_delta)
    syn_0 += np.dot(l0.T, l1_delta)

print(l1)

改进神经网络v3.0——dropout

Hinton's Dropout in 3 Lines of Python

增加dropout_percent。目的是为了防止过拟合，一种正则化的手段。在迭代的时候，对某一（几）层神经网络进行drop_out。这里举例用二项分布采样的方法进行。np.random.binomial(n, p, size=None)。

Dropout是指在模型训练时随机让网络某些隐含层节点的权重不工作，不工作的那些节点可以暂时认为不是网络结构的一部分，但是它的权重得保留下来（只是暂时不更新而已）。

一些理由解释：

权值的更新不依赖于一些固定关系隐含节点的共同作用。阻止了某些特征仅仅在其它特定特征下才有效果的情况。即随机选取当前隐含层的部分节点
模型平均概念（选取每次计算过程的相对最优解），使用了 dropout之后每次的网络结构不同，样本不同对应的输出模型也不同。（个人感觉有点像加入随机）
生物进化解释，不断适应变化情况，有效阻止过拟合（避免环境改变物种面临死亡）
朴素贝叶斯（native bayes）属于dropout的一种特例：各个特征之间相互独立。在训练样本少的情况下，单独对每个特征进行学习（dropout是训练一部分特征）。

这里假设对\(l_1\)进行drop_out。

定义 len(x)=3, hidden_dim=4, dropout_percent=0.2

代入数值计算,

1
2
3

np.random.binomial([array([[ 1.,  1.,  1.,  1.],
                           [ 1.,  1.,  1.,  1.],
                           [ 1.,  1.,  1.,  1.]])], 0.8)[0] * (1/0.8)

# 默认的dropout_percent是0.5, 即如果不加如dropout_percent的话
# 如果是对图像进行操作的话，建议不超过0.25
dropout_percent = 0.2

...
l1 *= np.random.binomial([np.ones((len(X), hidden_dim))],1 - dropout_percent)[0] *(1.0/(1 - dropout_percent))
...

P.S:

对二项分布进行采样。这里的n为 [np.ones((len(X), hidden_dim))]，p为 1-dropout_percent

np.random.binomial(n, p, size=None)

公式如下：

\[ P(N)=C^0_n*p^0*(1-p)^n=(1-p)^n \]

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